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11 étapes, c'est beaucoup, mais c'est facile. Cliquez sur les images à droite pour les agrandir.

Notes : Ces images ont été extraites d'une installation sous Windows 7, mais à quelques détails près elles s'appliquent à Windows XP.

Il est possible aussi, sur votre poste, qu'au cours des étapes 3 à 8 l'installation se présente déjà en français. Dans ce cas :

• Traduisez Next par Suivant, Install now par Installer maintenant et Finish par Terminer
• Ne tenez pas compte des étapes 9 et 10

Voilà ! Mais le plus dur reste à faire : L'installer c'est bien, l'utiliser c'est mieux !

Pour aller plus loin, une solution : Adhérer à notre association et suivre le module Perfectionnement

Ce qui pourrait faire l'objet de travaux dans le cadre d'un module expert.

Un nombre complexe comporte une partie réelle et une partie imaginaire. On écrit z = x + iy pour représenter le nombre complexe z avec une partie réelle x et une partie imaginaire y .

Ce qui fait la richesse et l’intérêt des nombres complexes, c’est que i est un nombre très particulier tel que i ²=-1 et donc par exemple

   z² = (x+iy)² = (x² – y²) + i(2xy)

Si on s’amuse (les maths c’est comme un jeu) à représenter le nombre z par un point dans un repère orthonormé dont l’abscisse mesure la partie réelle et l’ordonnée la partie imaginaire, voilà ce que ça peut donner :

On a donc représenté ici 2 nombres complexes. Ce qu'on a ajouté en vert mesure la distance à l’origine. Le carré de cette distance s'appelle le module. Le module d'un nombre complexe z = x + iy est égal à x² + y² .

Maintenant définissons une suite de nombres complexes de la façon suivante :

• Le premier terme de la suite est un nombre complexe Z₀
• Le n^ième terme de la suite Z_n se déduit du précédent Z_n-1 par la formule Z_n = (Z_n-1)² + Z₀      

Observons dans notre repère comment se comporte la suite des points Z_n selon le choix qu’on a fait pour le premier terme Z₀ et notamment, est-ce que les points s’éloignent de l’origine (on dit que la suite diverge) ou bien s’en rapprochent (on dit que la suite converge).

C’est là que ça devient drôle (si, si,). Voici 2 exemples avec 2 points de départ différents mais assez proches l’un de l’autre :

Dans le premier exemple on part de Z₀=-0,8 + 0,2 i et le module du 23^ième terme est entre 7 et 8 suivi de 178 zéros !

Dans le deuxième exemple on part de Z₀=-0,7 + 0,2 i et le module du 23^ième terme est à peine 0,26 !

Etonnant Non ?

Alors accrochez-vous ça va devenir tordant .

Pour chaque point de notre repère, considéré comme point de départ Z₀ de la suite qu’on a définie plus haut, on attribue un niveau de couleur du blanc au noir en fonction de la vitesse à laquelle la suite converge. Donc blanc si la suite converge rapidement, noir si elle diverge.

Et voilà ce que ça donne :

Cette image (ensemble de Mandelbrot) est l'une des images les plus classiques de la catégorie des fractales.

Elle a été produite en écrivant dans GIMP ce qu'on appelle un "greffon" (ou un "plugin"), disons un programme. Ici c'est un programme (en langage Python) qui calcule pour chaque point du repère la couleur (du blanc au noir) représentant la vitesse de convergence de la suite définie plus haut et dont le 1er terme correspond au point du repère considéré.

Un aute exemple ici de ce que l'on peut obtenir relativement facilement avec une autre fractale (ensemble de Julia).

Vous pouvez télécharger les sources Python pour GIMP de ces 2 images